Revisit: Matematika Vektor untuk Dinamika

Kajian dinamika, dan juga statika, biasanya disajikan dalam bentuk matematika vektor. Mengapa demikian? Tentu saja karena besaran-besaran yang dikaji seperti posisi, kecepatan, dan percepatan, disamping memiliki magnitude juga memiliki arah. Demikian pula dalam statika, besaran-besaran seperti deformasi, gaya, dan stress juga memiliki magnitude sekaligus arah.

Dalam dinamika (yang meliputi juga kinematika), besaran posisi, kecepatan, dan percepatan biasa diuraikan dalam sumbu-sumbu koordinat. Dalam pemodelan 3 dimensi dengan sistem sumbu kartesian, besaran-besaran tersebut diuraikan menjadi komponen x, y, dan z. Dalam pemodelan 2 dimensi, salah satu komponen diabaikan.

Karena besaran-besaran yang dikaji dinyatakan dalam vektor maka operasi matematika yang dilakukan tidak lain adalah operasi vektor. Berikut ini beberapa konsep dalam operasi vektor yang penting dan sering digunakan.

Perkalian Dua Vektor

Perkalian vektor ada 2 macam: dot product dan cross product. Dot product antara vektor A dan vektor B menghasilkan skalar, yakni A.B = |A| |B| cos theta, dimana theta adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Dot product bersifat komutatif, yakni A.B = B.A. Adapun cross product antara A dan B akan menghasilkan sebuah vektor yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh A dan B. Jika A x B = C maka arah C mengikuti kaidah tangan kanan. Magnitude dari C adalah |C| = |A| |B| sin theta. Dan perlu diingat, A x B = – B x A.

Yang juga penting untuk diingat adalah cross product antara dua unit vektor dalam sistem sumbu kartesian. Jika i adalah unit vektor arah x, j adalah unit vektor arah y, dan k adalah unit vektor arah z, maka:

i x j = k

j x k = i

k x i = j

Agar mudah mengingat, kita bisa membayangkannya dengan sebuah lingkaran, yang memiliki tiga titik pada kelilingnya, yaitu secara counter clockwise: i kemudian j kemudian k. Hasil kali dari 2 unit vektor adalah unit vektor berikutnya dalam arah counter clockwise.

Adapun jika melakukan perkalian 2 unit vektor dengan arah clockwise, maka hasilnya adalah unit vektor berikutnya dalam arah clockwise pula, namun arahnya negatif. Dengan demikian:

i x k = – j

k x j = – i

j x i = – k

Kemudian perlu diingat bahwa cross product suatu vektor dengan dirinya sendiri, termasuk cross product suatu unit vektor dengan dirinya sendiri, menghasilkan vektor nol. Dengan demikian:

i x i = 0

j x j = 0

k x k = 0

Turunan Pertama Unit Vektor

Penting pula untuk diingat bahwa turunan pertama sebuah unit vektor (terhadap waktu) adalah hasil cross product antara vektor kecepatan angularnya dan unit vektor itu sendiri. Dengan demikian:

Ini adalah beberapa operasi vektor yang penting dalam dinamika. Selamat ber-dinamika.