Stiffness Matrix dan Pemecahan F = K.d dalam FEA

Ada dua stiffness matrix dalam Finite Element Analysis (FEA), yaitu local stiffness matrix k dan global stiffness matrix K. Local stiffness matrix k adalah suatu matrix yang memberikan relasi f = k.d untuk sebuah elemen, dimana f adalah nodal forces, k adalah local stiffness matrix, dan d adalah nodal displacement. Analog dengan ini, global stiffness matrix K adalah suatu matrix yang memberikan relasi F = K.d untuk sebuah sistem dalam sumbu global, dimana F adalah nodal forces, K adalah global stiffness matrix, dan d adalah nodal displacement. Perlu diingat bahwa f dan F adalah nodal force vector, sedangkan d adalah nodal displacement vector dimana elemen-elemennya disebut juga sebagai degree of freedom (dof).

Sekarang mari kita bayangkan sebuah spring element dengan dua node di kedua ujungnya. Kedua node tersebut kita beri notasi node 1 dan node 2. Pada node 1 bekerja gaya f1x, dan pada node 2 bekerja gaya f2x. Akibat gaya f1x, terjadi displacament pada node 1 sebesar d1x. Demikian pula akibat gaya f2x, terjadi displacement pada node 2 sebesar d2x.

Maka hubungan antara nodal forces, nodal displacement, dan local stiffness matrix adalah:Kita lihat bahwa local stiffness matrix terdiri dari elemen k11, k12, k21, dan k22. Makna fisik dari elemen-elemen tersebut adalah sebagai berikut:

• Elemen k11 adalah stiffness element yang menyebabkan terjadinya displacement d1x saja pada node 1 akibat gaya f1x saja.
• Elemen k12 adalah stiffness element yang menyebabkan terjadinya displacement d2x saja  pada node 2 akibat gaya f1x saja.
• Elemen k21 adalah stiffness element yang menyebabkan terjadinya displacament d1x saja pada node 1 akibat gaya f2x saja.
• Elemen k22 adalah stiffness element yang menyebabkan terjadinya displacement d2x saja pada node 2 akibat gaya f2x saja.

Yang perlu dicatat, stiffness matrix k dan K memiliki empat sifat. Pertama, stiffness matrix selalu berupa square matrix. Kedua, stuffness matrix selalu merupakan symmetric matrix. Ketiga, stiffness matrix selalu merupakan singular matrix. Dan keempat, diagonal elements pada stiffness matrix selalu bernilai positif.

Meng-assembly Stiffness Matrix

Global stiffness matrix suatu sistem dalam sumbu global bisa diperoleh dengan cara meng-assembly seluruh local stiffness matrix yang ada pada sistem tersebut. Assembly bisa dilakukan dengan prinsip superposition (direct method).

Pemecahan F = K.d

Sistem persamaan F = K.d pada awalnya selalu tidak memiliki unique solution (atau dengan kata lain memiliki banyak solusi yang mungkin) karena matrix K adalah singular matrix. Dengan menerapkan boundary condition yang cukup pada sistem persamaan ini, maka sistem persamaan akan tereduksi, dan K akan berubah menjadi non singular matrix, sehingga bisa dicari unique solution-nya.

Berapa boundary condition yang mesti kita sediakan untuk bisa mendapatkan unique solution. Disini ada rule of thumb: jumlah boundary condition yang harus disediakan minimal sama dengan jumlah dof dari elemen yang dof-nya tertinggi dalam sistem yang kita miliki.

Boundary condition sendiri bisa dibedakan menjadi 2 jenis: homogeneous boundary condition (yaitu yang besarnya nol) dan non homogeneous boundary condition (yaitu yang besarnya tidak sama dengan nol).

Jika unique solution, yakni unknown displacament, sudah kita dapatkan, maka kita bisa mendapatkan gaya-gaya reaksi dengan mudah. Dengan demikian, seluruh elemen nodal force vector dan nodal displacament vector didapatkan nilainya.