Stress Analysis pada Silinder

Untuk menganalisa stress pada sebuah silinder, lebih mudah jika kita menggunakan sistem sumbu silindrikal, dimana kita memiliki 3 sumbu: sumbu radial r, sumbu angular theta, dan sumbu aksial z. Problem silinder biasanya dimodelkan sebagai plane strain, dimana displacement dan regangan hanya terjadi pada bidang radial saja (melintang silinder) dan besarnya stress seragam sepanjang sumbu z. Dengan demikian, distribusi stress hanya dihitung pada bidang radial saja, dan dalam model yang sederhana merupakan fungsi dari radius r. Tetapi ingat, stress pada arah aksial tidak selalu sama dengan nol. Stress pada arah aksial akan ditentukan oleh kondisi dari ujung-ujung silinder, apakah ujung silinder tertutup (closed-end) ataukah terbuka (open end).

Bayangkan kita memiliki sebuah silinder dengan ketebalan dinding t, radius internal ri, radius eksternal ro, dan panjang L. Masing-masing ujung silinder ditumpu oleh fixed support, sehingga regangan dalam arah aksial sama dengan nol. Dari dalam silinder bekerja tekanan pada dinding silinder sebesar pi, dan dari luar silinder bekerja tekanan pada dinding silinder sebesar po. Akibat tekanan tersebut, terjadi displacement ke arah radial pada dinding silinder. Displacament yang terjadi pada sebuah elemen kecil dari silinder bisa digambarkan sebagai berikut:

Akibat pembebanan yang ada, terdapat stress pada dinding silinder, yang meliputi 3 komponen yaitu: radial stress (sigma r), tangential stress (sigma t), dan axial stress (sigma z). Stress yang terjadi pada sebuah elemen infinitesimal dinding silinder adalah sebagai berikut:

Pertama-tama analisis dilakukan dengan memberlakukan prinsip static equilibrium, yakni: resultan dari gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut sama dengan nol. Penerapan prinsip equilibrium ini akan menghasilkan persamaan equilibrium. Berikutnya, kita terapkan geometric compatibility, berupa: 1) besarnya strain ke arah radial dan 2) besarnya strain ke arah tangensial. Kemudian setelah itu kita terapkan constitutive law (sifat material) yang meliputi arah radial, tangensial, dan aksial.

Selanjutnya kita memasukkan besarnya regangan aksial sama dengan nol (kasus plane strain), dan tegangan aksial yang merupakan fungsi dari Poisson ratio, tegangan radial, dan regangan tangensial. Ini akan menghasilkan dua persamaan simultan yang menghubungkan tegangan radial dan tangensial dengan sifat material, regangan radial, dan regangan tangensial.

Dua persamaan simultan  diatas kemudian kita substitusikan kedalam persamaan equilibrium, sehingga menghasilkan satu persamaan diferensial biasa homogeneous orde 2, dimana u (displacament) merupakan dependent variable, dan r (radius) merupakan independent variable. General solution dari persamaan diferensial merupakan fungsi linier u terhadap r, yang mengandung dua konstanta sembarang.

Untuk bisa mendapatkan nilai dari dua konstanta sembarang tersebut, kita harus menerapkan dua boundary condition. Boundary condition pertama adalah: besarnya radial stress pada radius ri sama dengan besarnya tekanan pi, dalam bentuk compressive stress. Dan boundary condition kedua adalah: besarnya radial stress pada radius ro sama dengan besarnya tekanan po, juga dalam bentuk compressive stress. Dengan menerapkan kedua boundary condition tersebut, kita mendapatkan nilai kedua konstanta sembarang, yang kemudian kita substitusikan kedalam general solution. Dengan demikian, kini kita sudah mendapatkan solusi dalam bentuk u sebagai fungsi dari r.

Fungsi linier u berikut turunannya kemudian kita substitusikan kedalam dua persamaan simultan yang telah disebutkan diatas, sehingga menghasilkan persamaan tegangan radial dan tegangan tangensial, yang merupakan fungsi dari tekanan yang bekerja pada dinding silinder, radius internal silinder, dan radius eksternal silinder. Persamaan ini dikenal sebagai Lame’s Equation.