Abdur Rosyid's Blog – Page 11 – Just a few notes on mechanical engineering and robotics

Revisit: Matematika Vektor untuk Dinamika

March 1, 2012 by Abdur Rosyid

Kajian dinamika, dan juga statika, biasanya disajikan dalam bentuk matematika vektor. Mengapa demikian? Tentu saja karena besaran-besaran yang dikaji seperti posisi, kecepatan, dan percepatan, disamping memiliki magnitude juga memiliki arah. Demikian pula dalam statika, besaran-besaran seperti deformasi, gaya, dan stress juga memiliki magnitude sekaligus arah.

Dalam dinamika (yang meliputi juga kinematika), besaran posisi, kecepatan, dan percepatan biasa diuraikan dalam sumbu-sumbu koordinat. Dalam pemodelan 3 dimensi dengan sistem sumbu kartesian, besaran-besaran tersebut diuraikan menjadi komponen x, y, dan z. Dalam pemodelan 2 dimensi, salah satu komponen diabaikan.

Karena besaran-besaran yang dikaji dinyatakan dalam vektor maka operasi matematika yang dilakukan tidak lain adalah operasi vektor. Berikut ini beberapa konsep dalam operasi vektor yang penting dan sering digunakan.

Perkalian Dua Vektor

Perkalian vektor ada 2 macam: dot product dan cross product. Dot product antara vektor A dan vektor B menghasilkan skalar, yakni A.B = |A| |B| cos theta, dimana theta adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Dot product bersifat komutatif, yakni A.B = B.A. Adapun cross product antara A dan B akan menghasilkan sebuah vektor yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh A dan B. Jika A x B = C maka arah C mengikuti kaidah tangan kanan. Magnitude dari C adalah |C| = |A| |B| sin theta. Dan perlu diingat, A x B = – B x A. (more…)

Kasus-kasus Khusus Stress Analysis pada Silinder

February 29, 2012 by Abdur Rosyid

Pada postingan sebelumnya, saya sudah menjelaskan bagaimana stress analysis dilakukan pada sebuah silinder. Pada postingan tersebut, silinder yang saya analisis adalah silinder yang kedua ujungnya ditumpu oleh fixed support sehingga regangan arah aksial sama dengan nol. Dengan kata lain, analisis berubah menjadi plane strain, yakni: strain hanya terjadi pada bidang melintang silinder saja, yaitu radial strain dan tangential strain.

Berkenaan dengan kondisi ujung-ujung silinder, ada dua kondisi yang bisa terjadi: closed-end dan open-end. Dalam kasus dimana silinder memiliki ujung-ujung tertutup (closed-end), besarnya axial stress bisa signifikan sehingga penting untuk dihitung. Dalam kasus silinder closed-end, axial strain bisa nol dan bisa pula bernilai signifikan, tergantung pada bagaimana kedua ujung silinder ditumpu. Jika tumpuan pada kedua ujung siilinder tidak memungkinkan terjadinya axial strain, maka axial strain sama dengan nol. Namun jika tumpuan pada ujung-ujung silinder memungkinkan terjadinya axial strain, maka besarnya axial strain bisa sangat signifikan dan karenanya penting untuk dihitung.

Namun dalam kasus dimana silinder memiliki ujung-ujung terbuka (open-end), besarnya axial stress biasanya dianggap nol dan karenanya tidak perlu dihitung. Sebabnya adalah karena ujung silinder terbuka, sehingga tidak ada resistensi dari material terhadap gaya aksial yang bekerja. Karena axial stress sama dengan nol, maka axial strain juga sama dengan nol. (more…)

Stress Analysis pada Silinder

February 29, 2012 by Abdur Rosyid

Untuk menganalisa stress pada sebuah silinder, lebih mudah jika kita menggunakan sistem sumbu silindrikal, dimana kita memiliki 3 sumbu: sumbu radial r, sumbu angular theta, dan sumbu aksial z. Problem silinder biasanya dimodelkan sebagai plane strain, dimana displacement dan regangan hanya terjadi pada bidang radial saja (melintang silinder) dan besarnya stress seragam sepanjang sumbu z. Dengan demikian, distribusi stress hanya dihitung pada bidang radial saja, dan dalam model yang sederhana merupakan fungsi dari radius r. Tetapi ingat, stress pada arah aksial tidak selalu sama dengan nol. Stress pada arah aksial akan ditentukan oleh kondisi dari ujung-ujung silinder, apakah ujung silinder tertutup (closed-end) ataukah terbuka (open end).

Bayangkan kita memiliki sebuah silinder dengan ketebalan dinding t, radius internal ri, radius eksternal ro, dan panjang L. Masing-masing ujung silinder ditumpu oleh fixed support, sehingga regangan dalam arah aksial sama dengan nol. Dari dalam silinder bekerja tekanan pada dinding silinder sebesar pi, dan dari luar silinder bekerja tekanan pada dinding silinder sebesar po. Akibat tekanan tersebut, terjadi displacement ke arah radial pada dinding silinder. Displacament yang terjadi pada sebuah elemen kecil dari silinder bisa digambarkan sebagai berikut:

(more…)

3 Syarat Penyelesaian Problem Statis

September 20, 2020 by Abdur Rosyid

Problem statis adalah problem dimana load bukan merupakan fungsi waktu. Dalam menyelesaikan problem statis, selalu diberlakukan 3 syarat, yang dengannya problem akan bisa diselesaikan dengan metode tertentu, baik itu secara analitis maupun secara numerik. Syarat pertama adalah equilibrium (kesetimbangan), yang dalam hal ini sering pula disebut sebagai static equilibrium. Yang dimaksud dengan equilibrium adalah, bahwa resultan gaya dan momen/torsi yang bekerja pada benda sama dengan nol. Equilibrium inilah yang mencegah benda dari adanya percepatan, yang jika ada percepatan maka problem berubah menjadi dinamis. (more…)

Truss dalam Sistem Sumbu Lokal dan Global

February 28, 2012 by Abdur Rosyid

Dalam sistem sumbu lokal, truss (bar) hanya memiliki 1 dof untuk setiap node-nya. Namun dalam sistem sumbu global x-y, setiap node pada truss memiliki 2 dof, yaitu displacement dalam arah x dan displacement dalam arah y.

Dengan menggunakan prosedur yang sama dengan spring element, stiffness sebuah truss element yang memiliki luas penampang A, Young Modulus E, dan panjang L adalah: (more…)

Kinematika 3 Dimensi

February 28, 2012 by Abdur Rosyid

Posisi suatu titik dinyatakan dalam sebuah vektor yang terletak dalam sebuah reference frame. Dalam sistem kartesian, vektor posisi dari titik P terhadap origin O adalah r(P/O) = xi + yj + zk, dimana i, j, dan k adalah unit vektor dalam arah x, y, dan z.

Jika titik P dilihat dari pusat sumbu suatu moving reference frame O’ memiliki vektor posisi r(P/O’), maka vektor posisi dari P terhadap pusat sumbu fixed reference frame O adalah jumlah dari r(O’/O) dan r(P/O’).

Secara analogis, ini juga berlaku untuk vektor kecepatan, sehingga v(P/O) = v(O’/O) + v(P/O’). Juga vektor percepatan, sehingga a(P/O) = a(O’/O) + a(P/O’).

Kecepatan linier relatif titik P terhadap O’ adalah turunan pertama dari r(P/O’) terhadap waktu.

dimana turunan dari unit vektor i, j, dan k sama dengan hasil cross product vektor kecepatan angular terhadap unit vektor itu sendiri. (more…)

Stress dan Equilibrium

February 27, 2012 by Abdur Rosyid

Stress biasa dinyatakan dalam tensor orde 2, dengan notasi sigma ij, atau thau ij, dimana i dan j adalah indeks (suffix). Secara umum, stress dibagi menjadi 2 komponen, yaitu normal stress (disimbolkan dengan sigma) dan shear stress (disimbolkan dengan thau). Dalam sebuah kubus 3 dimensi yang terletak dalam sebuah sumbu kartesian, komponen-komponen stress (dalam arah positif) bisa digambarkan sebagai berikut:

Terlihat pada gambar diatas bahwa pada setiap bidang kubus bekerja 3 komponen stress, yaitu 1 komponen normal stress dan 2 komponen shear stress. (more…)

Potential Energy Method dalam FEM

September 20, 2020 by Abdur Rosyid

Total potential energy P didefinisikan sebagai jumlah dari internal strain energy U dan potential energy dari gaya-gaya luar O, atau secara matematis dituliskan sebagai P = U + O. Dalam potential energy method, kita harus men-set P minimum sehingga kita mendapatkan global stiffness matrix dan persamaan F = K.d.

Mari kita ambil contoh satu spring element sebagai berikut:

(more…)

3 Pendekatan FEM

September 20, 2020 by Abdur Rosyid

Finite Element Method (FEM) memiliki 3 macam pendekatan yang berbeda, dimana masing-masing tentunya memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri-sendiri. Pendekatan pertama adalah dengan direct equilibrium method. Kedua, dengan variational method. Dan ketiga, dengan weighted residual method.

Direct equilibrium method didasarkan pada prinsip kesetimbangan gaya-gaya, dan cocok digunakan untuk elemen-elemen 1D (line elements) seperti spring element, truss (bar) element, dan beam element. Adapun untuk elemen-elemen 2D atau 3D, lebih cocok menggunakan variational method. (more…)

Stiffness Matrix dan Pemecahan F = K.d dalam FEA

February 23, 2012 by Abdur Rosyid

Ada dua stiffness matrix dalam Finite Element Analysis (FEA), yaitu local stiffness matrix k dan global stiffness matrix K. Local stiffness matrix k adalah suatu matrix yang memberikan relasi f = k.d untuk sebuah elemen, dimana f adalah nodal forces, k adalah local stiffness matrix, dan d adalah nodal displacement. Analog dengan ini, global stiffness matrix K adalah suatu matrix yang memberikan relasi F = K.d untuk sebuah sistem dalam sumbu global, dimana F adalah nodal forces, K adalah global stiffness matrix, dan d adalah nodal displacement. Perlu diingat bahwa f dan F adalah nodal force vector, sedangkan d adalah nodal displacement vector dimana elemen-elemennya disebut juga sebagai degree of freedom (dof).

Sekarang mari kita bayangkan sebuah spring element dengan dua node di kedua ujungnya. Kedua node tersebut kita beri notasi node 1 dan node 2. Pada node 1 bekerja gaya f1x, dan pada node 2 bekerja gaya f2x. Akibat gaya f1x, terjadi displacament pada node 1 sebesar d1x. Demikian pula akibat gaya f2x, terjadi displacement pada node 2 sebesar d2x.

(more…)